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(精校版)2018年北京理数高考试题文档版(含答案).doc

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(精校版)2018年北京理数高考试题文档版(含答案).doc

绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理) (北京卷)本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 A{x||x|f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.(14)已知椭圆 ,双曲线 .若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四210xyMab 21xyNmn个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为__________;双曲线N 的离心率为__________.三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15) (本小题 13 分)在△ABC 中,a7,b8 ,cosB– .17(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求 AC 边上的高.(16) (本小题 14 分)如图,在三棱柱 ABC− 中, 平面 ABC,D ,E,F,G 分别为 ,AC, , 的1ABC11A1C1B中点,ABBC ,AC 2.学科*网5(Ⅰ)求证AC⊥平面 BEF;(Ⅱ)求二面角 B−CD−C1 的余弦值;(Ⅲ)证明直线 FG 与平面 BCD 相交.(17) (本小题 12 分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ ”表示第 k1k类电影得到人们喜欢, “ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k1,2,3,4,5,6) .写出0k方差 , , , , , 的大小关系.1D234D56(18) (本小题13分)设函数 [ ] .fx2413axaex(Ⅰ)若曲线y f(x)在点(1, )处的切线与 轴平行,求a;fx(Ⅱ)若 在x2处取得极小值,求a的取值范围.f(19) (本小题 14 分)已知抛物线 C 2px 经过点 (1,2) .过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点2yPA,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.(Ⅰ)求直线 l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设 O 为原点, , ,求证 为定值.QOQ1(20) (本小题14分)设 n 为正整数,集合 A .对于集合 A 中的任意元素12{|,,{0,1},2}nktt n 和 ,记12,nx 12,nyM( ) ., 122[||||||]nnxyxyxy(Ⅰ)当 n3 时,若 , ,求 M( )和 M( )的值;,0,,,(Ⅱ)当 n4 时,设 B 是 A 的子集,且满足对于 B 中的任意元素 ,当 相同时,M(,,)是奇数;当 不同时,M( )是偶数.求集合 B 中元素个数的最大值;学.科网, ,,(Ⅲ)给定不小于 2 的 n,设 B 是 A 的子集,且满足对于 B 中的任意两个不同的元素 ,,M( )0.写出一个集合 B,使其元素个数最多,并说明理由.,绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题(1)A (2)D (3)B (4)D (5)C (6)C (7)C (8)D二、填空题(9) (10) (11) (12)363na1223(13) sinx(答案不唯一) (14)f 1三、解答题(15) (共 13 分)解(Ⅰ)在△ABC 中,∵cosB– ,∴B∈( ,π),∴sinB .1722431cos7B由正弦定理得 ,∴sin A .siniabAsinA8433∵B∈( ,π ),∴A∈(0, ),∴∠A .2π2π(Ⅱ)在△ABC 中,∵sinCsin(A B)sinAcos BsinBcosA .3143271如图所示,在△ABC 中,∵sinC ,∴h ,sinC714∴AC 边上的高为 .32(16) (共 14 分)解(Ⅰ)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∵CC 1⊥平面 ABC,∴四边形 A1ACC1 为矩形.又 E,F 分别为 AC,A 1C1 的中点,∴AC⊥EF.∵ABBC.∴AC⊥BE,∴AC⊥平面 BEF.(Ⅱ)由(I)知 AC⊥EF ,AC⊥BE,EF∥CC 1.又 CC1⊥平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC.∵BE 平面 ABC,∴EF⊥BE.如图建立空间直角坐标系 E-xyz.由题意得 B(0,2,0) ,C( -1,0,0) ,D(1,0,1) ,F(0,0,2) ,G(0,2,1) .∴ ,1CDurur, , , , ,设平面 BCD 的法向量为 ,abc, ,n∴ ,∴ ,0CBrun20令 a2,则 b-1,c -4,∴平面 BCD 的法向量 ,214, ,n又∵平面 CDC1 的法向量为 ,0EBur, ,∴ .21cos||EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1 为钝角,所以二面角 B-CD-C1 的余弦值为 .21(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BCD 的法向量为 ,∵G(0,2,1) ,F(0,0,2) ,24, ,n∴ ,∴ ,∴ 与 不垂直,021GFur, , 2GFurnFur∴GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内,∴GF 与平面 BCD 相交.(17) (共 12 分)解(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是 140503002008005102000,第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550.故所求概率为 .学科 网50.2(Ⅱ)设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评” ,事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评” .故所求概率为 P( )P( )P( )BABP(A) (1–P(B) )(1–P(A) )P(B) .由题意知P(A)估计为 0.25,P(B)估计为 0.2.故所求概率估计为 0.250.80.750.20.35.(Ⅲ) .1D4253D6(18) (共 13 分)解(Ⅰ)因为 [ ] ,fx241axaex所以 f ′(x)[ 2ax–(4a1)] ex[ax 2–(4a1)x4a3]e x[ax 2–(2a1)x2]e x.f ′11–ae.由题设知 f ′10,即1–ae0,解得 a1.此时 f 13e≠ 0.所以 a 的值为 1.(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ′(x )[ ax2–(2a1 )x 2]e x(ax–1)x–2e x.若 a ,则当 x∈ ,2 时, f ′x0.所以 f x在 x2 处取得极小值.若 a≤ ,则当 x∈0,2时, x–20.所以 2 不是 f x的极小值点.综上可知,a 的取值范围是( ,∞).12(19) (共 14 分)解(Ⅰ)因为抛物线 y22px 经过点 P(1,2) ,所以 42p,解得 p2,所以抛物线的方程为 y24x.由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 ykx1(k≠0) .由 得 .241yxk2410x依题意 ,解得 k0 或 0k1.22k又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,-2) .从而 k≠-3.所以直线 l 斜率的取值范围是( -∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1) .(Ⅱ)设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) .由(I)知 , .24k1k直线 PA 的方程为 .1yx令 x0,得点 M 的纵坐标为 .1122Mkx同理得点 N 的纵坐标为 .2Nkxy由 , 得 , .QOurQur1M1Ny所以 .21212241 1MN kxxykxkk所以 为定值.学科*网(20) (共 14 分)解(Ⅰ)因为 α(1,1,0),β(0,1,1),所以Mα,α [11−|1−1|11−|1−1|00−|0−0|]2,2Mα,β) [10–|1−0|11–|1–1|01–|0–1|]1.(Ⅱ)设 α(x 1,x 2,x 3,x 4)∈B,则 Mα,α) x 1x2x3x4.由题意知 x1,x 2,x 3,x 4∈{0,1} ,且 Mα,α 为奇数,所以 x1,x 2,x 3,x 4 中 1 的个数为 1 或 3.所以 B {1,0,0,0),(0,1,0,0 ,(0,0,1, 0,(0,0,0,1,(0,1,1,1 ,1,0,1,1 ,1 ,1,0,1 ,1,1,1,0}.将上述集合中的元素分成如下四组 (1,0,0,0,1,1,1,0;(0,1,0,0 ,1,1,0,1;(0,0,1,0,(1,0,1,1;(0,0,0,1,(0,1,1, 1.经验证,对于每组中两个元素 α,β,均有 Mα,β)1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合{(1,0,0,0),( 0,1,0,0),(0,0,1, 0),(0,0,0,1} 满足条件,所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.(Ⅲ)设 Sk{ x1,x 2,, xn)| x 1,x 2,,x n)∈A,x k 1,x 1x2xk–10}(k1,2,,n,Sn1{ x1,x 2,,x n)| x 1x2xn0},则 AS1∪S 1∪∪S n1.对于 Sk( k1, 2,,n–1)中的不同元素 α,β,经验证, Mα,β≥1.所以 Sk( k1, 2 ,,n–1)中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素.所以 B 中元素的个数不超过 n1.取 ek x1,x 2, ,x n)∈S k 且 xk1xn0(k1,2,,n–1).令 B(e 1,e 2,,e n–1)∪ Sn∪S n1,则集合 B 的元素个数为 n1,且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.

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