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(精校版)2018年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc

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(精校版)2018年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案).doc

绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设i2z,则 |zA. 0 B.12C. 1 D. 22.已知集合 20x,则 ARA. 1 B. x C. ||2xxD. |1|2x 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 nS为等差数列 na的前 项和.若 324S, 1a,则 5A. 12 B. 10 C. 0 D. 125.设函数32fxx.若 fx为奇函数,则曲线 yfx在点 0,处的切线方程为A. yB. yC. 2D. yx6.在 BC△ 中, D为 边上的中线, E为 AD的中点,则 EBA.314B.134C.314AD.134ABC7.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 ,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 ,则在此圆柱侧面上,从 到 N的路径中,最短路径的长度为A. 172B. 52C.3 D.28.设抛物线 Cy 24x 的焦点为 F,过点(–2,0)且斜率为2的直线与 C 交于 M,N 两点,则 FNA.5 B.6 C.7 D.89.已知函数e0lnxf, ,, , gxfa.若 g(x)存在 2 个零点,则 a 的取值范围是A.[–1,0) B.[0,∞) C.[–1,∞) D.[1 ,∞)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC . AB△ 的三边所围成的区域记为 Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为 p1,p 2,p 3,则A.p 1p2 B.p 1p3C.p 2p3 D.p 1p2p311.已知双曲线 C21xy,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、 N.若 △ 为直角三角形,则| MN|A. 32B.3 C. 23D.412.已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相等,则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为A. 34B. 23C. 324 D. 32二、填空题本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13.若 x, y满足约束条件201xy,则 32zxy的最大值为_____________.14.记 nS为数列 na的前 项和.若 2nSa,则 6S_____________.15.从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有_____________种. (用数字填写答案)16.已知函数 2sinfxx,则 f的最小值是_____________.三、解答题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题60 分。17. (12 分)在平面四边形 ABCD中, 90, 45A, 2B, 5D.(1)求 cos;( 2) 若 2, 求 .18. (12 分)如图,四边形 ABCD为正方形, ,EF分别为 ,ADBC的中点,以 F为折痕把 DC△ 折起,使点到达点 P的位置,且 .(1)证明平面 平面 ;(2)求 与平面 所成角的正弦值.19. (12 分)设椭圆21xCy的右焦点为 F,过 的直线 l与 C交于 ,AB两点,点 M的坐标为 2,0.(1)当 l与 轴垂直时,求直线 AM的方程;(2)设 O为坐标原点,证明 O.20. (12 分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 10p,且各件产品是否为不合格品相互独立.学科(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验21. (12 分)已知函数 1lnfxax.(1)讨论 的单调性;(2)若 fx存在两个极值点 12,x,证明 12fxfa.(二)选考题共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修 44坐标系与参数方程 ](10 分)在直角坐标系 xOy中,曲线 1C的方程为 |2ykx.以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2的极坐标方程为 2cos30.(1)求 C的直角坐标方程;(2)若 1与 2有且仅有三个公共点,求 1C的方程.23.[选修 45不等式选讲 ](10 分)已知 ||1|fxax.(1)当 时,求不等式 f的解集;(2)若 0,x时不等式 x成立,求 a的取值范围.参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A13.6 14. 6 15.16 16. 217.(12 分)解(1)在 ABD△ 中,由正弦定理得 siniBADB.由题设知, 52sin4i,所以 25.由题设知, 90AB,所以 3cos1A.(2)由题设及(1)知, 2in5DCB.在 BCD△ 中,由余弦定理得22cosB5852.所以 BC.18.(12 分)解(1)由已知可得,BF⊥PF,BF ⊥EF,所以 BF⊥平面 PEF.又 F平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD.(2)作 PH⊥EF ,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面 ABFD.以 H 为坐标原点, F的方向为 y 轴正方向, |BF为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.由(1)可得,DE⊥PE .又 DP2,DE1,所以 PE 3.又 PF1,EF2,故 PE⊥PF.可得 3,2PHE.则 330,,,1,01,,22DP30,2HP为平面 ABFD 的法向量.设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 4sin|||3D.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 34.19.(12 分)解(1)由已知得 1,0F,l 的方程为 x1.由已知可得,点 A 的坐标为 2,或 1,.所以 AM 的方程为 yx或 2yx.(2)当 l 与 x 轴重合时, 0OMAB.当 l 与 x 轴垂直时, OM 为 AB 的垂直平分线,所以 OMAB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 10ykx, 12,,yx,则 12,,直线 MA,MB 的斜率之和为 21MAB.由 12,ykxykx得121234MABxxkkk.将 1ykx代入21y得 2240kxk.所以,212124,xxk.则31 3122241843 0kkk .从而 0MAB,故 MA,MB 的倾斜角互补,所以 OMAB.综上, O.20.(12 分)解(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 2180Cfpp.因此218172170 0C[]fppp.令 ,得 ..当 0,.时, f;当 ,时, 0f.所以 f的最大值点为 1.(2)由(1)知, .p.(i)令 Y表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 180,.YB,05X,即 4025XY.所以 429EE.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 0X,故应该对余下的产品作检验.21.(12 分)解(1) fx的定义域为 0,,2211axfx.(i)若 2a,则 f,当且仅当 a, 时 0f,所以 fx在 0,单调递减.(ii)若 2a,令 0fx得,24a或24ax.当240,,xU时, 0f;当22,aa时, fx.所以 fx在2244,,,aa单调递减,在224,单调递增.(2)由(1)知, fx存在两个极值点当且仅当 2a.由于 fx的两个极值点 12,满足 10x,所以 1x,不妨设 12x,则 1.由于1212212 12lnlnlnaaax x ,所以 12fxf等价于 22ln0x.设函数 lngx,由(1)知, g在 ,单调递减,又 10g,从而当1,x时, 0.所以 22lnx,即 12fxfa.22.[选修 44坐标系与参数方程 ](10 分)解(1)由 cosx, siny得 2C的直角坐标方程为214xy.(2)由(1)知 2C是圆心为 1,0A,半径为 的圆.学科网由题设知, 1是过点 ,B且关于 y轴对称的两条射线.记 y轴右边的射线为 1l, y轴左边的射线为 2l.由于 在圆 2的外面,故 1与 2C有且仅有三个公共点等价于 1l与 2C只有一个公共点且 2l与C有两个公共点,或 l与 只有一个公共点且 1l与 2有两个公共点.当 1l与 2只有一个公共点时, A到 1l所在直线的距离为 ,所以 2||1k,故43k或 0.经检验,当 0k时, 1l与 2C没有公共点;当43k时, 1l与 2C只有一个公共点, 2l与 C有两个公共点.当 2l与 C只有一个公共点时, A到 2l所在直线的距离为 2,所以 2||1k,故 0k或43.经检验,当 0k时, 1l与 2C没有公共点;当43k时, 2l与 C没有公共点.综上,所求 1的方程为4|3yx.23.[选修 45不等式选讲 ](10 分)解(1)当 1a时, |1||fxx,即2,1,,.xf故不等式 fx的解集为{|}2.(2)当 0,1时 ||1|ax成立等价于当 0,1x时 ||1ax成立.若 a,则当 ,x时 ||;若 0, |1|的解集为20xa,所以1,故 02a.综上, a的取值范围为 ,].

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