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(精校版)2018年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案).doc

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(精校版)2018年全国卷Ⅱ理数高考试题文档版(含答案).doc

绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2iA.43i5B.43i5C.34i5D.34i52.已知集合 2xyxyZ, ≤ , ,,则 A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.43.函数2exf的图像大致为 4.已知向量 a, b满足 |1, ab,则 2abA.4 B.3 C.2 D.05.双曲线20,xyab的离心率为 3,则其渐近线方程为A. yxB. yxC.2yxD.32yx6.在 BC△ 中,5cos2, 1C, 5A,则 BA. 42B. 30C. 29 D. 257.为计算1149S,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A. i B. 2 C. 3i D. 48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 3072.在不超过 30 的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30 的概率是A.12B.14C.15D.189.在长方体 1CDA中, , 13A,则异面直线 1A与 B所成角的余弦值为A.15B.56C. 5 D.210.若 cosinfxx在 [,]a是减函数,则 a的最大值是A.π4B.π2C.3π4D. π11.已知 fx是定义域为 ,的奇函数,满足 1fxf.若 12f,则12350ffA. 50B.0 C.2 D.5012.已知 1F, 2是椭圆210xyCab的左、右焦点, A是 C的左顶点,点 P在过 A且斜率为36的直线上, 12PF△ 为等腰三角形, 12FP,则 的离心率为A. B. C. 3 D.14二、填空题本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.曲线 2ln1yx在点 0,处的切线方程为__________.开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11TTi结 束是 否14.若 ,xy满足约束条件2503xy,,,则 zxy的最大值为__________.15.已知 sinco1αβ, sin0αβ,则 sinαβ__________.16.已知圆锥的顶点为 S,母线 A, SB所成角的余弦值为78, SA与圆锥底面所成角为 45,若 SAB△ 的面积为 51,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答.学科*网(一)必考题共 60 分。17.(12 分)记 nS为等差数列 {}na的前 项和,已知 17a, 315S.(1)求 的通项公式;(2)求 n,并求 nS的最小值.18.(12 分)下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位亿元)的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模型.根据2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 127, , , )建立模型① ˆ30.415yt;根据2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 , , , )建立模型② 97.t.(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由.19.(12 分)设抛物线24Cyx的焦点为 F,过 且斜率为 0k的直线 l与 C交于 A, B两点, |8.(1)求 l的方程;学科网(2)求过点 A, B且与 的准线相切的圆的方程.20.(12 分)如图,在三棱锥 PC中, 2AB, 4PABC, O为 AC的中点.(1)证明 O平面 ;(2)若点 M在棱 B上,且二面角 M为 30,求 与平面 PM所成角的正弦值.PA O CB M21.(12 分)已知函数2exfa.(1)若 ,证明当 0时, 1fx;(2)若 fx在 ,只有一个零点,求 a.(二)选考题共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4坐标系与参数方程 ](10 分)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为2cos4inxθy,( 为参数),直线 l的参数方程为1cos2inxtαy,( t为参数).(1)求 C和 l的直角坐标方程;(2)若曲线 截直线 l所得线段的中点坐标为 1,2,求 l的斜率.23.[选修 4-5不等式选讲 ](10 分)设函数 ||2|fxax.(1)当 a时,求不等式 0f的解集;(2)若 1f,求 的取值范围.绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空题13. 2yx14.9 15. 1216. 402π三、解答题17.解(1)设 {}na的公差为 d,由题意得 135ad.由 7得 d2.所以 {}n的通项公式为 29n.(2)由(1)得 28416S.所以当 n4 时, n取得最小值,最小值为−16.18.解(1)利用模型①,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.415926.1y亿元.利用模型②,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ7..亿元.(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下(ⅰ)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.415yt上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 ˆ917.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学科*网(ⅱ)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.解(1)由题意得 1,0F,l 的方程为 10ykx.设 12,AyxB,由 2,4k得 2240kx.2160k,故 12kx.所以 1224|||kABFx.由题设知248k,解得 k(舍去) , 1.因此 l 的方程为 1yx.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 3,2,所以 AB 的垂直平分线方程为 23yx,即5yx.设所求圆的圆心坐标为 0,xy,则0220,116.yx解得 03,2x或 01,6.y因此所求圆的方程为 23xy或 2214x.20.解(1)因为 4APC, O为 AC的中点,所以 OPAC,且 3.连结 OB.因为 2AC,所以 ABC△ 为等腰直角三角形,且 , 1.由 22P知 PO.由 ,OBAC知 平面 ABC.(2)如图,以 为坐标原点,ur的方向为 x轴正方向,建立空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 0,2,0,0,2,3,0,23,OBACPAur取平面 PAC的法向量 ur.设 ,2Maa,则 ,4Maur.设平面 PA的法向量为 ,xyzn.由 0,urrn得 2304a,可取 34,an,所以 22cos,3OBr.由已知可得 |,|urn.所以 223|4|3a.解得 4a(舍去) , 43a.所以 8,3n.又 0,23PCur,所以 3cos,4PCurn.所以 与平面 AM所成角的正弦值为 .21.解(1)当 a时, 1fx等价于21e0x.设函数2eg,则22e1exxg .当 x时, 0x,所以 x在 ,单调递减.而 0,故当 时, 0,即 1fx.(2)设函数21exhxa.f在 ,只有一个零点当且仅当 hx在 ,只有一个零点.(i)当 0a时, x, 没有零点;(ii)当 时, 2exha.当 ,2x时, x;当 ,时, 0hx.所以 h在 0单调递减,在 单调递增.故 241ea是 hx在 [0,的最小值.①若 0h,即24, 在 ,没有零点;②若 2,即2ea, hx在 0,只有一个零点;③若 0h,即24,由于 1,所以 hx在 0,2有一个零点,由(1)知,当 x时, 2ex,所以33342461610eaaa.故 h在 2,4a有一个零点,因此 h在 0,有两个零点.综上, fx在 0,只有一个零点时,2e4a.22.解(1)曲线 C的直角坐标方程为2146xy.当 cos0时, l的直角坐标方程为 tan2tanx,当 时, 的直角坐标方程为 1.(2)将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程,整理得关于 t的方程23cos4cosin80t.①因为曲线 截直线 l所得线段的中点 1,在 C内,所以①有两个解,设为 1t, 2,则 120t.又由①得 1224csin3ot,故 cosin0,于是直线 l的斜率 tank.23.解(1)当 a时,4,1,26,.xf可得 0fx的解集为 {|3}x.(2) 等价于 ||2|4a.而 ||2||xa,且当 x时等号成立.故 1fx等价于 |2|4a.由 ||4可得 6或 2a,所以 的取值范围是 ,6][,.

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