初中人教版数学八年级上册12.2【教学课件】《三角形全等的判定》.ppt
,人民教育出版社 八年级 | 上册,温故知新,1、 什么叫全等三角形?,能够重合的两个三角形叫全等三角形.,2、 已知△ABC ≌△ DEF,找出其中相等的边与角,①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F,问题引入,①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F,思考: 1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗? 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△ DEF吗?,,,,,知识点详解,1.全等三角形的判定只给一个条件,(1)只给一条边时:,3㎝,3㎝,(2)只给一个角时:,45°,45°,结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等。,2.如果满足两个条件,你能说出有哪几种可能的情况?,①两边;,②一边一角;,③两角.,知识点详解,①如果三角形的两边分别为4cm,6cm 时,,,,,6cm,6cm,4cm,4cm,,,结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等。,知识点详解,,,,②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时,,4cm,4cm,,,30◦,30◦,结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等。,知识点详解,③如果三角形的两个内角分别是30°,45°时,,,,结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等。 根据三角形的内角和为180度,则第三角一定确定,所以当三内角对应相等时,两个三角形不一定全等。,知识点详解,你能得到什么结论吗?,结论:只给出一个或两个条件时,都不能保证所画的三角形一定全等。,知识点详解,当满足三个条件时, △ABC 与△A′B′C′全等吗?满足三个条件时,又分为几种情况呢?,三个条件,知识点详解,先任意画出一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′= AB,B′C′= BC,A′C′= AC.把画好的△A′B′C′剪下,放到△ABC 上,它们全等吗?,画法: (1)画线段B′C′=BC ; (2)分别以B′、C′为圆心,BA、BC 为半径画弧,两 弧交于点A′; (3)连接线段A′B′,A′C′。,知识点详解,作图的结果反映了什么规律?你能用文字语言和符号语言概括吗?,边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS”。,用符号语言表达:,在△ABC 与 △ A′B′C′中,AB =A′B′, ∵ AC =A′C′, BC =B′C′,∴ △ABC ≌△A′B′C′ (SSS)。,,判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等。,知识点详解,例题详解,如图,有一个三角形钢架,AB =AC ,AD 是 连接点A 与BC 中点D 的支架.求证:△ABD ≌△ACD 。,证明:∵ D 是BC 中点,∴ BD =DC在△ABD 与△ACD 中,AB =AC ,∵ BD =CD ,AD =AD ,∴ △ABD ≌△ACD ( SSS )。,,先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A‘=∠A,C′A′= CA(即两边和它们的夹角分别相等),把画好的△A′B′C′剪下来,放到△ABC 上,它们全等吗?,画法: (1) 画∠DA′E =∠A; (2)在射线A′D上截取 A′B′=AB,在射线A′E 上截取A′C′=AC; (3)连接B′C′。,,知识点详解,现象:两个三角形放在一起 能完全重合。 说明:这两个三角形全等。,,先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A'=∠A,C′A′= CA(即两边和它们的夹角分别相等).把画好的△A′B′C′剪下来,放到△ABC 上,它们全等吗?,知识点详解,“SAS”判定方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可 简写成“边角边”或“SAS ”)。,几何语言: 在△ABC 和△ A′B′ C′中,AB = A′B′,∵ ∠A =∠A′,AC =A′C′ ,∴ △ABC ≌△ A′B′ C′(SAS)。,,知识点详解,例题详解,如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先 在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C,连接AC并延长至D,使CD =CA,连接BC 并延长至E,使CE =CB,连接ED,那么量出DE的长就是A,B的距离。为什么?,证明:在△ABC 和△DEC 中,AC = DC(已知),∵ ∠1 =∠2 (对顶角相等),BC =EC(已知) ,∴ △ABC ≌△DEC(SAS)∴ AB =DE (全等三角形的对应边相等),,探索“SSA”能否识别两三角形全等,两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况,前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法,那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗?,如图,在△ABC 和△ABD 中, AB =AB,AC = AD,∠B =∠B, 但△ABC 和△ABD 不全等. 所以”SSA” 不能保证两个三角形全等。,知识点详解,探究“ASA”判定方法,先在一张纸上画一个△ABC,然后在另一张纸上画△DEF,使EF =BC,∠E =∠B,∠F =∠C.△ABC 和△DEF 能重合吗?根据你画的两个三角形及结果,你能得到又一个判定两个三角形全等的方法吗?,两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简称为“角边角”或“ASA”)。,重合,知识点详解,例题详解,如图,点D 在AB上,点E 在AC上,BA =AC, ∠B =∠C. 求证:AD =AE.,证明:在△ABE 和△ACD 中,∠B =∠C,∵ AB =AC ,∠A =∠A ,∴ △ABE ≌△ACD(ASA).∴ AE =AD.,,探索“HL”判定方法 任意画一个Rt△ABC,使∠C =90°,再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt△A'B'C'剪下来放到Rt△ABC上,你发现了什么?,画法: (1) 画∠MC'N =90°; (2)在射线C'M上取B'C'=BC; (3) 以B'为圆心,AB为半径画弧,交射线C' N于点A'; (4)连接A‘B’。,,知识点详解,探索“HL”判定方法 任意画一个Rt△ABC,使∠C =90°,再画一个Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,然后把画好的Rt△A'B'C'剪下来放到Rt△ABC上,你发现了什么?,现象:两个直角三角形能重合。 说明:这两个直角三角形全等。,,知识点详解,“HL”判定方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等(简写为“斜边、直角边”或“HL”)。,几何语言: ∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中, ∵ AB =A'B',BC =B'C', ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A‘B’C‘(HL) 。,,知识点详解,例题详解,如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC =BD。 求证:BC =AD。,证明:∵ AC⊥BC,BD⊥AD, ∴ ∠C 和∠D 都是直角, 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中, ∵ AB =BA,AC =BD, ∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD(HL). ∴ BC =AD(全等三角形对应边相等)。,,结论总结,一般三角形 全等的条件:,1.定义(重合)法; 2.SSS; 3.SAS; 4.ASA; 5.AAS.,解题中常用的4种方法,,直角三角形全等特有的条件:HL,