高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2习题（含解析）新人教A版选修1_2.doc

选修 1-2 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．正弦函数是奇函数， f(x)＝sin (x2＋1)是正弦函数，因此 f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理 ( )导 学 号 92601005A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确[答案] C[解析] 函数 f(x)＝sin ( x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选 C．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的． ”中的小前提是 ( )导 学 号 92601006A．① B．②C．①② D．③[答案] D[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )导 学 号 92601007A．两条直线平行，同位角相等．由此可知，若∠ A、∠ B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，则∠ A＝∠ BB．某校高一(1)班有 45人，高一(2)班有 46人，高一(3)班有 48人，由此得出该校高一各班的人数均不超过 50C．由平面上圆的性质，推测空间球的性质D．数列{ an}满足： a1＝1， an＝ (n≥2)，由此归纳出{ an}的通项公式12(an－ 1＋ 1an－ 1)[答案] A[解析] “两条直线平行，同位角相等”是一般性原理，∠ A、∠ B是两条平行直线被第三条直线所截得到的同位角，故∠ A＝∠ B，因此是演绎推理．4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 b⊄平面 α ，直线 a⊂平面 α ，直线 b∥平面 α ，则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的，这是因为 ( )导 学 号 92601008A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误[答案] A[解析] “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线”错误，故选 A．5． “凡是自然数都是整数，4 是自然数，所以 4是整数． ”以上三段论推理( )导 学 号 92601009A．完全正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致[答案] A[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4 是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．6．若 ab0， c B． D． b0，∴ c，∴ ac；③∵75 不能被 2整除，∴75 是奇数；④∵ a∥ b， b⊥平面 α ，∴ a⊥ α .[答案] ①[解析] 当 a＝0 时， ab＝ ac，但 b＝ c未必成立．三、解答题10．如图所示，在四边形 ABCD中， AB＝ CD， BC＝ AD． 求证：四边形 ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理. 导 学 号 92601014[解析] ①平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等．(大前提)如果△ ABC和△ CDA的三边对应相等．(小前提)则这两个三角形全等．(结论)符号表示：AB＝ CD且 BC＝ DA且 CA＝ AC⇒△ ABC≌△ CDA．②由全等形的定义可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等．(大前提)如果△ ABC和△ CDA全等，(小前提)则它们的对应角相等，(结论)符号表示：△ ABC≌△ CDA⇒∠1＝∠2 且∠3＝∠4 且∠ B＝∠ D．③两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．(大前提)直线 AB、 DC和直线 BC、 AD被直线 AC所截，若内错角∠1＝∠2，∠3＝∠4.[小前提(已证)]则 AB∥ DC， BC∥ AD． [结论(同理)]④如果四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．(大前提)四边形 ABCD中，两组对边分别平行，(小前提)四边形 ABCD为平行四边形．(结论)符号表示： AB∥ DC且 AD∥ BC⇒四边形 ABCD为平行四边形．一、选择题1． “在四边形 ABCD中，∵ AB綊 CD，∴四边形 ABCD是平行四边形” ．上述推理过程 ( )导 学 号 92601015A．省略了大前提 B．省略了小前提C．是完整的三段论 D．推理形式错误[答案] A[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形” ．2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为 ( )导 学 号 92601016A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误[答案] B[解析] 用小前提“ S是 M”，判断得到结论“ S是 P”时，大前提“ M是 P”必须是所有的 M，而不是部分．3．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数 y＝log ax是增函数(大前提)，又y＝log x是对数函数(小前提)，所以 y＝log x是增函数(结论)． ”下列说法正确的是13 13( )导 学 号 92601017A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误[答案] A[解析] 大前提错误，因为对数函数 y＝log ax(0＜ a＜1)是减函数，故选 A．4．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )导 学 号 92601018A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠ A和∠ B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠ A＋∠ B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由 6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于 4)可以写成两个素数的和D．在数列{ an}中， a1＝1， an＝ (an－1 ＋ )(n≥2)，由此归纳出{ an}的通项公式12 1an－ 1[答案] A[解析] 选项 A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项 B为类比推理，选项 C、D 都是归纳推理．二、填空题5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、 B、 C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B城市．乙说：我没去过 C城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________. 导 学 号 92601019[答案] A城市[解析] 由甲没去过 B城市，乙没去过 C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市 A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过 A城市．6．已知数列{ an}满足 a1＝ ，且前 n项和 Sn满足 Sn＝ n2an，则 an＝________.12导 学 号 92601020[答案] 1n2＋ n[解析] 解法一：(归纳法) a1＝ ， a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，12 16 112 120寻找分母的规律，a1＝ ， a2＝ ， a3＝ ， a4＝ ，11×2 12×3 13×4 14×5所以 an＝ .1n n＋ 1解法二：(演绎推理) Sn＋1 － Sn＝( n＋1) 2an＋1 － n2an，所以( n2＋2 n)an＋1 ＝ n2an，所以 ＝ ， ＝ ，…， ＝ ， ＝ ， ＝ ，an＋ 1an nn＋ 2 anan－ 1 n－ 1n＋ 1 a4a3 35 a3a2 24 a2a1 13所以 ＝ .an＋ 1a1 2 n＋ 2  n＋ 1因为 a1＝ ，所以 an＋1 ＝ .12 1 n＋ 1  n＋ 2又因为 a1＝ ＝ .12 11×2三、解答题7．用三段论证明：已知{ an}是各项均为正数的等差数列，l ga1，l ga2，l ga4成等差数列，又 bn＝ ， n＝1,2,3…，证明{ bn}为等比数列.1a2n 导 学 号 92601021[解析] 因为 lga1，l ga2，l ga4成等差数列，所以 2lga2＝l ga1＋l ga4，即 a ＝ a1·a4.2设等差数列{ an}的公差为 d，则( a1＋ d)2＝ a1(a1＋3 d)，这样 d2＝ a1·d，从而 d(d－ a1)＝0.而 d＝0，则{ an}为常数列，相应{ bn}也是常数列，此时{ bn}是首项为正数，公比为 1的等比数列．若 d＝ a1≠0，则 a2n＝ a1＋(2 n－1)· d＝2 n·d，bn＝ ＝ · .1a2n 1d 12n这时{ bn}是首项为 b1＝ ，公式为 的等比数列．12d 12综上知{ bn}为等比数列．8．已知 a、 b、 c是实数，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c， g(x)＝ ax＋ b.当－1≤ x≤1 时，|f(x)|≤1. 导 学 号 92601022(1)求证：| c|≤1.(2)当－1≤ x≤1，求证：－2≤ g(x)≤2.[解析] (1)因为 x＝0 满足－1≤ x≤1 的条件，所以| f(0)|≤1.而 f(0)＝ c，所以|c|≤1.(2)当 a0时， g(x)在[－1,1]上是增函数，所以 g(－1)≤ g(x)≤ g(1)．又 g(1)＝ a＋ b＝ f(1)－ c，g(－1)＝－ a＋ b＝－ f(－1)＋ c，所以－ f(－1)＋ c≤ g(x)≤ f(1)－ c，又－1≤ f(－1)≤1，－1≤ f(1)≤1，－1≤ c≤1，所以－ f(－1)＋ c≥－2， f(1)－ c≤2，所以－2≤ g(x)≤2.当 a0时，可用类似的方法，证得－2≤ g(x)≤2.当 a＝0 时， g(x)＝ b， f(x)＝ bx＋ c，g(x)＝ f(1)－ c，所以－2≤ g(x)≤2.综上所述，－2≤ g(x)≤2.