备战2020年高考数学考点一遍过考点16正、余弦定理及解三角形文（含解析）.docx

考点 16 正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理1．正弦定理在 中，若角 A， B， C 对应的三边分别是 a， b， c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即BC△.正弦定理对任意三角形都成立．sinisinabc=2．常见变形（1） sisisi,,,sini,sini,sni;nAaCcBbaAaCcAbcBBb（2） ;siisiniiiisinaABC（3） ::;ac（4）正弦定理的推广： ，其中 为 的外接圆的半径.=2siisinabcRBCAC△3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在 中，已知 ， 和 时，三角形解的情况ABC△ abA二、余弦定理1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 222222cos,coscos.abAbaBabC，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.222222cos,cos,cosbaababcABC3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设 的三边为 a， b， c，对应的三个角分别为 A， B， C，其面积为 S.ABC△（1） (h 为 BC 边上的高)；2S（2） ；1sinsisin2ccBab（3） ( 为三角形的内切圆半径)．(rabr2．三角形的高的公式hA=bsinC=csinB， hB=csinA=asinC， hC=asinB=bsinA．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α (如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东 α ，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向(如图③)；②北偏西 α ，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ 为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④， i 为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在 中， ，其变式有： ，ABC△ π πABC等．π2ABC（2）三角形中的三角函数关系：； ；iin(ss)()soscocAB； .i2ABCin2C典例 1 在 中，内角所对的边分别为，若， ，则 的值为ABC△ caA．1 B． 3C． D．5 7【答案】D【解析】由，结合正弦定理，可得，即，由于，所以，因为 0＜ A＜π，所以．又，由余弦定理可得，即，所以.故选 D．典例 2 已知 的内角的对边分别为,且.ABC△（1）求；（2）若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【解析】 （1）因为,所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即 ，解得.25sinB从而 .cos5B设的中垂线交于点,因为在 中， ，RtDE△所以 ，15cos2BED因为为线段的中垂线，所以.1．已知 的内角 的对边分别为 ,且 ， ，则△ ABC,abc2oscosCaBbAc1,3abcA． B．3C． D．7 62．在 中， 是 上的点， 平分 ， .△ BDCACsin2i（1）求 ；（2）若 ，求 的长．1AB考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1） “角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2） “边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．πABC提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例 3 在 中，角 所对的边分别是 ，满足 ，且ABC△ , ,abc 3oscsincos2ACB成等比数列.,abc（1）求角 的大小；（2）若 ,试判断三角形的形状.2tanttancbACB【解析】 （1）已知 ,∵ ， ,3ossicos2ACBcosAC32sin2AC又 , ，即 ，22ininbac2iin而 成等比数列，所以 不是最大，, b故 为锐角，所以 .B60（2）由 ,得 ,2tanttancACBcos2cosiiniACbB利用正弦定理可得 ,os1又因为 ,所以 ,π3π3所以 是等边三角形.AB△3．在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ．△ ABC, ,abcsinta1coBC（1）求证： 为等腰三角形；△（2）若 是钝角三角形，且面积为 ，求 的值．△ AB24a2bc考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．典例 4 在 中，角的对边分别为，且．ABC△（1）求角；（2）若，求 面积的最大值．△【解析】 （1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号） ，∴，即，，故 面积的最大值为．ABC△【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.典例 5 在 中， ，是边上的一点.ABC△（1）若，求的长；（2）若，求 周长的取值范围.△【解析】 （1）在 中， AD＝1， ，D△所以＝cos∠ DAC＝1×2×cos∠ DAC＝3, 所以 cos∠ DAC＝.由余弦定理得 ＝12＋1－2×2×1×＝7，22cosCACAD所以 CD＝. （2）在 中，由正弦定理得 ，B△ 234πsinisniB，.π30,sin,132A，故 周长的取值范围为 . BC△4．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．ABC△ Cabc2()13abc（1）求角 ；（2）若 ，求 及 的面积．3,2cbBA△5．已知 分别是 三个内角 所对的边，且 .,aC△ ,1cos2aCb（1）求 ；A（2）若 ，求 的周长 的取值范围.B△ L考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例 6 如图，在 中， 为 边上一点，且 ，已知 ， .ABC△ DDACπ4B1C（1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小；ABC△ 63DCA（2）若 的面积为 ，求 的长.△ 16AB【解析】 （1）在 中， ， ， ，BCD△ π41BC63D由正弦定理得 ，sinsi解得 ，213i6BC所以 或 .π3D2因为 是锐角三角形，所以 .ABC△ 2π3BDC又 ，所以 .（2）由题意可得 ，解得 ，1π1sin246BCDS△ 23BD由余弦定理得 ，解得 ，2 co 519953CD则 .523ABCB所以 的长为 .5236．如图，在 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2acosB+b=2c.△（1）求角 A 的大小；（2）若 AC 边上的中线 BD 的长为 ，且 AB⊥ BD，求 BC 的长．3考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例 7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在 处测得山顶 在北偏东 方向上，匀速向AP1515BAC北航行 分钟到达 处，测得山顶 位于北偏东 方向上，此时测得山顶 的仰角为 ，若山高为20BP60P60千米，3（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行 分钟到达 处，问此时山顶位于 处的南偏东什么方向？10DD【解析】 （1）在 中， ，BCP△ tan2PCB在 中，由正弦定理得 ，A△ sisisin15i4AAB所以 ，23故船的航行速度是每小时 千米.631（2）在 中，由余弦定理得 ，BCD△ 6CD在 中，由正弦定理得 ,△ 2sinsinsiBCDB所以山顶位于 处南偏东 方向.457．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 ， 之间的距离，她在西江南岸找到一个点 ，ABC从 点可以观察到点 ， ；找到一个点 ，从 点可以观察到点 ， ；找到一个点 ，从 点CABDCE可以观察到点 ， ；并测量得到数据： ， ， ，90C6015AB， ， 百米．105BE451E（1）求 的面积；△ CDE（2）求 ， 之间的距离的平方．AB考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“ ”之间的等量关系与不等关系，通过基本2,ab不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例 8 在 中，已知 ，向量 ， ，且 .ABC△π6(sin,1)Am(,cos)Bmn（1）求 A 的值；（2）若点 D 在边 BC 上，且 ， ，求 的面积．3BCur3DC△【解析】 （1）由题意知 ，sinco0A又 ， ，所以 ，π6CπAB5πis()6即 ，即 .31cosin0sn2iin()0A又 ，所以 ，05π6Aπ2(,)63所以 ，即 .（2）设 ，|BDxur由 ，得 ，3C|3r由（1）知 ，所以 , .π6A|BAxur2π3在 中，由余弦定理，得 ，解得 ，BD△22π()1(3cosxx1x所以 ，3AC所以 .·sin3sin112π924BSB△典例 9 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.△（1）若 a， b， c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin( A＋ C)；（2）若 a， b， c 成等比数列，求 cos B 的最小值．【解析】 （1）因为 a， b， c 成等差数列，所以 a＋ c＝2 b.由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B.因为 sin B＝sin[ －( A＋ C)]＝sin( A＋ C)，π所以 sin A＋sin C＝2sin( A＋ C)．（2）因为 a， b， c 成等比数列，所以 b2＝ ac.由余弦定理得 cos B＝ ＝ ≥ ＝ ，a2＋ c2－ b22ac a2＋ c2－ ac2ac 2ac－ ac2ac 12当且仅当 a＝ c 时等号成立．所以 cos B 的最小值为 .18．已知 ，设 ．3sin,co,cs,o,xxRm()fxmn（1）求 的解析式并求出它的最小正周期 ；()f T（2）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的面△ ABC, ,abc1,2,()1bcfA△ BC积．1．设 的内角所对边的长分别是，且， ， ，则的值为△ ABCA． B．4C． D．2．在 中， ， ，则角的取值范围是△A． B．π0,6 π,42C． D．π,62 π,623．已知 的面积为，三个内角的对边分别为，若， ，则 是AB△ ABC△A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定4． 中， ， ， ，则 边上的高等于△ 210Ccos4AA． B．315 3C． D．325．一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 处看到一个灯塔 在北偏东 ，行驶 4h 后，船到达AB60处，看到这个灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为15A． km B． km306 302C． km D． km15 156．已知 的面积为， ，则的最小值为B△A． B．C． D．7．设 的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么 外接圆的半径为△ AC△A．2 B．4C． D．18． 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，且 ，则△ BBCabc24cos3csaBbA的面积为△ AA．2 B．3C．4 D． 29．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若向量 ， ，△ BABCabc(,)acbp(,)acq且 ，则角∥pqA． B．π6 π4C． D．3 210．若 的三个内角所对的边分别是， ，且，则B△A．10 B．8C．7 D．411．在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，若 的面积为 ，且△ abcACAC△ S，则243Sπsin4A．1 B．2C． D．624 6412．平面四边形中， ， ， ， ， ，则四边形的面积为A． B． 732C． D．13．已知 外接圆的半径为 ，内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 ，△ B3ACabc60A，则 的值为____________ ．2bc14．在 中， D 为 BC 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则 的面积的最AC△ B△ 43ADC△大值为.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 的方30向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度B7530___________m. CD16．已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 的取值范围为△ ABC,,abcπ,6143CabsinA__________.17．在 中，角， ，的对边分别为， ， ，已知， ， ．△（1）求；（2）求的值．18．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， .△ ABC, ,abcπ2Asin6cosinbAB（1）求 的值；a（2）若 ，求 周长的取值范围.π3△ AB19．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知向量 ，ABC△ BCabc(,3)bam，且 ．(cos,in)∥m（1）求角 的大小；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值．bABC△ 3ac20．如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 18 海里，渔船乙以 15 海里/小时60的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2h 追上，此时到达 C 处．（1）求渔船甲的速度；（2）求 的值．sin21．在 中， 的对边分别为 ，且 成等差数列．ABC△ ,,abcos,c,osCbBA（1）求 的值；（2）求 的范围．2sincosA22．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在 中，若求 的面积.ABC△ AB△23．如图所示，在平面内，四边形 的对角线交点位于四边形的内部， ，ABCD1,2,ABCD，记 ．ACD（1）若 ，求对角线 的长度45BD（2）当 变化时，求对角线 长度的最大值．1． （2019 年高考全国Ⅰ卷文数） 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知△asinA−bsinB=4csinC，cos A= ，则 =14bcA．6 B．5C．4 D．32．（2018 新课标全国Ⅲ文科） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为B△ CabcABC△，则24abcA． B． 3C． D．4 63． （2018 年高考全国Ⅱ文数）在 中， ， ， ，则ABC△5cos21BC5ABA． B．42 30C． D．9 54．（2017 新课标全国Ⅰ文科）△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c．已知， a=2， c= ，则 C=sin(sico)0BAC2A． B．π12 π6C． D．4 35．（2019 年高考全国Ⅱ卷文数） 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c．已知 bsinA+acosB=0，△则 B=___________.6．（2017 新课标全国Ⅲ文科） 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 C=60°，△b= ， c=3，则 A=_________.7．（2018 新课标全国Ⅰ文科） 的内角 的对边分别为 ，已知△ ， ， c， ，， ，则 的面积为________．sini4sinCcBaC228bcaABC△8． （2019 年高考浙江卷）在 中， ， ， ，点 在线段 上，若A△ 90B43DAC，则 ___________， ___________．5DcosD9． （2018 年高考浙江卷）在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c．若 ， b=2， A=60°，7则 sin B=___________， c=___________．10．（2018 江苏）在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交AC△ , ,c120ABCB于点 D，且 ，则 的最小值为 ▲ ．AC14ac11． （2018 年高考北京卷文数）若 的面积为 ，且∠ C 为钝角，则B△2234acb∠ B=_________； 的取值范围是_________.ca12．（2017 浙江）已知△ ABC， AB=AC=4， BC=2． 点 D 为 AB 延长线上一点， BD=2，连结 CD，则△ BDC 的面积是______，cos∠ BDC=_______．13．（2019 年高考全国Ⅲ卷文数） 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c．已知△．sinsin2ACab（1）求 B；（2）若 为锐角三角形，且 c=1，求 面积的取值范围．AC△ ABC△14．（2019 年高考北京卷文数）在 中， a=3， ，cos B= ．ABC△ –2bc1（1）求 b， c 的值；（2）求 sin（ B+C）的值．15．（2019 年高考天津卷文数）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，ABC△ , ,abc2a.3sin4sicBaC（1）求 的值；o（2）求 的值.sin6π16．（2019 年高考江苏卷）在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c．△（1）若 a=3c， b= ，cos B= ，求 c 的值；23（2）若 ，求 的值．sinoAsin()217． （ 2017 山 东 文 科 ） 在 中 ,角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 b=3, ,△ 6ABC,求 A 和 a.3ABCS△变式拓展1．【答案】C【解析】由题知 ，2coscosCaBbA由正弦定理得 ，iniinC所以 ，即 ，csisA2coss所以在 中， ，△ ABC1cos2又因为 ，2cs,3abab所以 .7故选 C.2．【解析】 （1）由正弦定理可得在 中， ，△ ABDsiniBDA在 中， ，△ ACDsiniC又因为 ，B则 .i2s（2） ，由正弦定理得 ，iniC2ABC设 ，则 ，Dx2Bx由余弦定理得 .22254cos cosDxADAB， 222CDxA因为 ，所以 ，BADC2254x解得 .2x则 .3B3．【解析】 （1）由 得： ，sinta1coBCsiin1cosCB则 ，siniii， ， ，πABsinsnπsiAinsiCA由正弦定理可知： ，ca则 为等腰三角形.△ ABC（2）由题意得： ，解得： ，221sinsi24aSacB1sin2B∵ 为钝角三角形，且 ， 为钝角，△ ，3cos2B由余弦定理得： ，222cos3baBaa.23ac4． 【解析】 （1）由已知条件化简可得 ，即 ，2()3abcab22cab由余弦定理的推论，可得 ，1cosC．2π(0,)3C（2） ，,,cbC由正弦定理可得 ，sin2iBc又 ，π,,4bcC在 中， ．AB△21362sini()sincosin()4BCB．1623i2324CSbc△5． 【解析】 （1） ，osacb∴由正弦定理得 ，1insini2ACB又 ，sini()sincosinBACAC，1co2， ，sin01s2又 ，πA.3（2）由正弦定理得 ，sin2isin,3aBCbcA1(si)1si()3Lac BA，π12sino2in26B，ππ5,0,,3A，则 .1sin,62B(2,3]L故 的周长 的取值范围是 .AC△6． 【解析】 （1）由 ，及正弦定理可得： ，cosabc2sincosi2inABC则 ，2sini2insi()BCAB整理得 ，csA因为 ，所以 ，(0,π)i0所以 ，1cos2又 ，所以 ．(0,π)Aπ3A（2）在 中， ，则 ，Rt△ ABD32πsiniA22(3)1AB因为 为 的中点，所以 ，C4D在 中，由余弦定理可得 ，△ AB22π1cos13C所以 ．137． 【解析】 （1）在 中， ，△ DE3609150∴ （平方百米）.1sin5224△ CDES（2）如图，连接 ，AB根据题意知，在 中， （百米） ，Rt△ tan1tan603CDA在 中， ，△ CE180EB854由正弦定理 ，得 （百米） ，sinsiBCE 21sinCE，co156045co60s45in60s4562在 中，由余弦定理得： ，△ ABC22cosABCABC则 ．263348． 【解析】 （1）由 ，(3sin,co),(s,co),xxRm则 ＝ ，()fxmn231π13sicosincos2in()62xxxx故函数 的最小正周期 ，()fπT故 ，最小正周期为 ．1sin2)6fx（2）因为 ，(fA所以 ，π1sin)62所以 ，i()A又 ，π132(,)6所以 ，5A所以 ，π3又 ，1,2abc由余弦定理 得： ，cosbA21bc所以 ，2()31c所以 ，b则 .sin24△ ABCSc考点冲关1．【答案】C【解析】在 中，∵ A＝2 B， ， b＝3， c＝1，△ Csina